Wymagania egzaminacyjne – matematyka (poziom podstawowy)
wymagania egzaminacyjne – zakres wymagań ograniczony o ok. 25%,
czas trwania – 180 min.,
liczba punktów do uzyskania – 46,
liczba punktów za zadania zamknięte – 29,
liczba zadań otwartych – 7-13.
Wymagania egzaminacyjne – przedmioty dodatkowe (poziom rozszerzony)
• Przeprowadzany na podstawie wymagań egzaminacyjnych zawierających ograniczony zakres wymagań podstawy programowej.
• Obowiązek przystąpienia do egzaminu z jednego przedmiotu na poziomie rozszerzonym; bez progu zaliczenia.
⇑I. Liczby rzeczywiste.
Poziom podstawowy.
Zdający:
1) wykonuje działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie, logarytmowanie) w zbiorze liczb rzeczywistych;
2) przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia nie trudniejsze niż dowód podzielności przez 24 iloczynu czterech kolejnych liczb naturalnych;
3) stosuje własności pierwiastków dowolnego stopnia, w tym pierwiastków stopnia nieparzystego z liczb ujemnych;
4) stosuje związek pierwiastkowania z potęgowaniem oraz prawa działań na potęgach i pierwiastkach;
5) stosuje własności monotoniczności potęgowania, w szczególności własności:
jeśli x < y oraz a > 1, to ax < ay ,
zaś gdy x < y i 0 < a < 1, to ax > ay ;
6) posługuje się pojęciem przedziału liczbowego, zaznacza przedziały na osi liczbowej;
7) stosuje interpretację geometryczną i algebraiczną wartości bezwzględnej, rozwiązuje równania i nierówności typu:
|x + 4| = 5, |x – 2| < 3, |x + 3| > 4 ;
8) wykorzystuje własności potęgowania i pierwiastkowania w sytuacjach praktycznych, w tym do obliczania procentów składanych z kapitalizacją roczną i zysków z lokat;
9) stosuje związek logarytmowania z potęgowaniem, posługuje się wzorami na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi.
Poziom rozszerzony.
Zdający spełnia wymagania określone dla poziomu podstawowego, a ponadto:
1) stosuje wzór na zamianę podstawy logarytmu;
2) przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia nie trudniejsze niż dowód własności: jeśli liczba przy dzieleniu przez 5 daje resztę 3, to jej trzecia potęga przy dzieleniu przez 5 daje resztę 2.
⇑II. Wyrażenia algebraiczne.
Poziom podstawowy.
Zdający:
1) stosuje wzory skróconego mnożenia na: (a + b)2 , (a – b)2 , a2 – b2;
2) dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany jednej i wielu zmiennych;
3) wyłącza poza nawias jednomian z sumy algebraicznej;
4) rozkłada wielomiany na czynniki metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias oraz metodą grupowania wyrazów, w przypadkach nie trudniejszych niż rozkład wielomianu
5) mnoży i dzieli wyrażenia wymierne;
6) dodaje i odejmuje wyrażenia wymierne, w przypadkach nie trudniejszych niż:
Poziom rozszerzony.
Zdający spełnia wymagania określone dla poziomu podstawowego, a ponadto:
1) znajduje pierwiastki całkowite i wymierne wielomianu o współczynnikach całkowitych;
2) dzieli wielomian jednej zmiennej 𝑊(𝑥) przez dwumian postaci 𝑥 − 𝑎;
3) korzysta ze wzorów na:
(a + b)3, (a – b)3, a3 + b3 i a3 – b3.
⇑III. Równania i nierówności.
Poziom podstawowy.
Zdający:
1) przekształca równania i nierówności w sposób równoważny;
2) interpretuje równania i nierówności sprzeczne oraz tożsamościowe;
3) rozwiązuje nierówności liniowe z jedną niewiadomą;
4) rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe;
5) rozwiązuje równania wielomianowe postaci W (x) = 0 dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej lub takich, które dają się doprowadzić do postaci iloczynowej metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias lub metodą grupowania;
6) rozwiązuje równania wymierne postaci
gdzie wielomiany
V(x) i
W(x) są zapisane w postaci iloczynowej.
Poziom rozszerzony.
Zdający spełnia wymagania określone dla poziomu podstawowego, a ponadto:
1) rozwiązuje nierówności wielomianowe typu: W(x) > 0, W(x) ≥ 0 , W(x) > 0 , W(x) ≤ 0 dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej lub takich, które dają się doprowadzić do postaci iloczynowej metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias lub metodą grupowania;
2) rozwiązuje równania i nierówności wymierne nie trudniejsze niż:
3) stosuje wzory Viète’a dla równań kwadratowych;
4) rozwiązuje równania i nierówności z wartością bezwzględną, o stopniu trudności nie większym niż:
5) analizuje równania i nierówności liniowe z parametrami oraz równania i nierówności kwadratowe z parametrami, w szczególności wyznacza liczbę rozwiązań w zależności od parametrów, podaje warunki, przy których rozwiązania mają żądaną własność, i wyznacza rozwiązania w zależności od parametrów.
⇑IV. Układy równań.
Poziom podstawowy.
Zdający:
1) rozwiązuje układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi, podaje interpretację geometryczną układów oznaczonych, nieoznaczonych i sprzecznych;
2) stosuje układy równań do rozwiązywania zadań tekstowych.
Poziom rozszerzony.
Zdający spełnia wymagania określone dla poziomu podstawowego, a ponadto:
1) rozwiązuje metodą podstawiania układy równań, z których jedno jest liniowe, a drugie kwadratowe, w postaci
2) rozwiązuje układy równań kwadratowych w postaci
⇑V. Funkcje.
Poziom podstawowy.
Zdający:
1) określa funkcje jako jednoznaczne przyporządkowanie za pomocą opisu słownego, tabeli, wykresu, wzoru (także różnymi wzorami na różnych przedziałach);
2) oblicza wartość funkcji zadanej wzorem algebraicznym;
3) odczytuje i interpretuje wartości funkcji określonych za pomocą tabel, wykresów, wzorów itp., również w sytuacjach wielokrotnego użycia tego samego źródła informacji lub kilku źródeł jednocześnie;
4) odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości większe (nie mniejsze) lub mniejsze (nie większe) od danej liczby, największe i najmniejsze wartości funkcji (o ile istnieją) w danym przedziale domkniętym oraz argumenty, dla których wartości największe i najmniejsze są przez funkcję przyjmowane;
5) interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej;
6) wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o jej wykresie lub o jej własnościach;
7) szkicuje wykres funkcji kwadratowej zadanej wzorem;
8) interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej (jeśli istnieje);
9) wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o tej funkcji lub o jej wykresie;
10) wyznacza największą i najmniejszą wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym;
11) wykorzystuje własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp., także osadzonych w kontekście praktycznym;
12) na podstawie wykresu funkcji y = ƒ(x) szkicuje wykresy funkcji y = ƒ(x – a) , y = ƒ(x) + b, y = –ƒ(x), y = ƒ(–x);
13) posługuje się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną, w tym ich wykresami, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi.
Poziom rozszerzony.
Zdający spełnia wymagania określone dla poziomu podstawowego, a ponadto na podstawie wykresu funkcji y = ƒ(x) rysuje wykres funkcji y = |ƒ(x)|.
⇑VI. Ciągi.
Poziom podstawowy.
Zdający:
1) oblicza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym;
2) w prostych przypadkach bada, czy ciąg jest rosnący, czy malejący;
3) sprawdza, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny;
4) stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego;
5) stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego;
6) wykorzystuje własności ciągów, w tym arytmetycznych i geometrycznych, do rozwiązywania zadań, również osadzonych w kontekście praktycznym.
Poziom rozszerzony.
Zdający spełnia wymagania określone dla poziomu podstawowego, a ponadto:
1) oblicza granice ciągów, korzystając z granic ciągów typu
oraz twierdzeń
o granicach sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu ciągów zbieżnych;
2) rozpoznaje zbieżne szeregi geometryczne i oblicza ich sumę.
⇑VII. Trygonometria.
Poziom podstawowy.
Zdający:
1) wykorzystuje definicje funkcji: sinus, cosinus i tangens dla kątów od 0° do 180°, w szczególności wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30°, 45°, 60°;
2) korzysta ze wzorów
3) stosuje twierdzenie cosinusów oraz wzór na pole trójkąta
4) oblicza kąty trójkąta i długości jego boków przy odpowiednich danych (rozwiązuje trójkąty m.in. z wykorzystaniem twierdzenia cosinusów).
Poziom rozszerzony.
Zdający spełnia wymagania określone dla poziomu podstawowego, a ponadto:
1) stosuje miarę łukową, zamienia miarę łukową kąta na stopniową i odwrotnie;
2) posługuje się wykresami funkcji trygonometrycznych: sinus, cosinus, tangens;
3) wykorzystuje okresowość funkcji trygonometrycznych;
4) stosuje wzory redukcyjne dla funkcji trygonometrycznych;
5) korzysta ze wzorów na sinus, cosinus i tangens sumy i różnicy kątów, a także na funkcje trygonometryczne kątów podwojonych;
6) rozwiązuje równania trygonometryczne o stopniu trudności nie większym niż w przykładzie
4 cos2x cos5x = 2 cos7x + 1;
7) stosuje twierdzenie sinusów;
8) oblicza kąty trójkąta i długości jego boków przy odpowiednich danych (m.in. z wykorzystaniem twierdzenia sinusów).
⇑VIII. Planimetria.
Poziom podstawowy.
Zdający:
1) wyznacza promienie i średnice okręgów, długości cięciw okręgów oraz odcinków stycznych, w tym z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa;
2) rozpoznaje trójkąty ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne przy danych długościach boków (m.in. stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i twierdzenie cosinusów); stosuje twierdzenie: w trójkącie naprzeciw większego kąta wewnętrznego leży dłuższy bok;
3) rozpoznaje wielokąty foremne i korzysta z ich podstawowych własności;
4) korzysta z własności kątów i przekątnych w prostokątach, równoległobokach, rombach i trapezach;
5) stosuje własności kątów wpisanych i środkowych;
6) stosuje wzory na pole wycinka koła i długość łuku okręgu;
7) stosuje twierdzenia: Talesa, o dwusiecznej kąta oraz o kącie między styczną a cięciwą;
8) korzysta z cech podobieństwa trójkątów;
9) wykorzystuje zależności między obwodami oraz między polami figur podobnych;
10) wskazuje podstawowe punkty szczególne w trójkącie: środek okręgu wpisanego w trójkąt, środek okręgu opisanego na trójkącie, środek ciężkości oraz korzysta z ich własności;
11) stosuje funkcje trygonometryczne do wyznaczania długości odcinków w figurach płaskich oraz obliczania pól figur.
Poziom rozszerzony.
Zdający spełnia wymagania określone dla poziomu podstawowego, a ponadto:
1) stosuje własności czworokątów wpisanych w okrąg i opisanych na okręgu;
2) stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa;
3) przeprowadza dowody geometryczne.
⇑IX. Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej.
Poziom podstawowy.
Zdający:
1) rozpoznaje wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie na podstawie ich równań, w tym znajduje wspólny punkt dwóch prostych, jeśli taki istnieje;
2) posługuje się równaniem prostej na płaszczyźnie w postaci kierunkowej, w tym wyznacza równanie prostej o zadanych własnościach (takich jak na przykład przechodzenie przez dwa dane punkty, znany współczynnik kierunkowy, równoległość lub prostopadłość do innej prostej, styczność do okręgu);
3) oblicza odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych;
4) posługuje się równaniem okręgu
(x – a)2 + (y – b)2 = r2 ;
5) oblicza odległość punktu od prostej;
6) wyznacza obrazy okręgów i wielokątów w symetriach osiowych względem osi układu współrzędnych, symetrii środkowej (o środku w początku układu współrzędnych).
Poziom rozszerzony.
Zdający spełnia wymagania określone dla poziomu podstawowego, a ponadto:
1) posługuje się równaniem prostej w postaci ogólnej na płaszczyźnie, w tym wyznacza równanie prostej o zadanych własnościach (takich jak na przykład przechodzenie przez dwa dane punkty, równoległość lub prostopadłość do innej prostej, styczność do okręgu);
2) zna pojęcie wektora i oblicza jego współrzędne oraz długość;
3) znajduje punkty wspólne prostej i okręgu oraz prostej i paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej.
⇑X. Stereometria.
Poziom podstawowy.
Zdający:
1) rozpoznaje wzajemne położenie prostych w przestrzeni, w szczególności proste prostopadłe nieprzecinające się;
2) posługuje się pojęciem kąta między prostą a płaszczyzną;
3) rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi), oblicza miary tych kątów;
4) oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów i ostrosłupów, również z wykorzystaniem trygonometrii i poznanych twierdzeń;
5) wykorzystuje zależność między objętościami graniastosłupów oraz ostrosłupów podobnych.
Poziom rozszerzony.
Zdający spełnia wymagania określone dla poziomu podstawowego, a ponadto:
1) zna i stosuje twierdzenie o prostej prostopadłej do płaszczyzny i o trzech prostopadłych;
2) posługuje się pojęciem kąta dwuściennego między półpłaszczyznami;
3) rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między ścianami, oblicza miary tych kątów;
4) określa, jaką figurą jest dany przekrój prostopadłościanu płaszczyzną;
5) wyznacza przekroje sześcianu i ostrosłupów prawidłowych oraz oblicza ich pola, także z wykorzystaniem trygonometrii.
⇑XI. Kombinatoryka.
Poziom podstawowy. Zdający:
1) zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych;
2) zlicza obiekty, stosując reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) dla dowolnej liczby czynności w sytuacjach nie trudniejszych niż: a) obliczenie, ile jest czterocyfrowych nieparzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 1 i dokładnie jedna cyfra 2, b) obliczenie, ile jest czterocyfrowych parzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 0 i dokładnie jedna cyfra 1.
Poziom rozszerzony.
Zdający spełnia wymagania określone dla poziomu podstawowego, a ponadto:
1) oblicza liczbę możliwych sytuacji, spełniających określone kryteria, z wykorzystaniem reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) oraz wzorów na liczbę: permutacji, kombinacji i wariacji, również w przypadkach wymagających rozważenia złożonego modelu zliczania elementów;
2) stosuje współczynnik dwumianowy (symbol Newtona) przy rozwiązywaniu problemów kombinatorycznych.
⇑XII. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka.
Poziom podstawowy.
Zdający:
1) oblicza prawdopodobieństwo w modelu klasycznym;
2) oblicza średnią arytmetyczną i średnią ważoną, znajduje medianę i dominantę;
3) oblicza odchylenie standardowe zestawu danych (także w przypadku danych odpowiednio pogrupowanych), interpretuje ten parametr dla danych empirycznych.
Poziom rozszerzony.
Zdający spełnia wymagania określone dla poziomu podstawowego, a ponadto:
1) oblicza prawdopodobieństwo warunkowe, stosuje twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym;
2) stosuje schemat Bernoulliego.
⇑XIII. Optymalizacja i rachunek różniczkowy.
Poziom podstawowy.
Zdający rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.
Poziom rozszerzony.
Zdający spełnia wymagania określone dla poziomu podstawowego, a ponadto:
1) oblicza granice funkcji (w tym jednostronne);
2) stosuje definicję pochodnej funkcji, podaje interpretację geometryczną pochodnej;
3) oblicza pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym oraz oblicza pochodną, korzystając z twierdzeń o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu;
4) stosuje pochodną do badania monotoniczności funkcji;
5) rozwiązuje zadania optymalizacyjne z zastosowaniem pochodnej.
poleca:
