Matura z matematyki w roku 2023 i 2024 - wymagania egzaminacyjne

• Przeprowadzany na podstawie wymagań egzaminacyjnych zawierających ograniczony zakres wymagań podstawy programowej.

• Obowiązek przystąpienia do egzaminu z jednego przedmiotu na poziomie rozszerzonym; bez progu zaliczenia.

Poziom podstawowy. 

Zdający: 

1) stosuje wzory skróconego mnożenia na: (a + b)² , (a – b)² , a² – b²;

2) dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany jednej i wielu zmiennych; 

3) wyłącza poza nawias jednomian z sumy algebraicznej; 

4) rozkłada wielomiany na czynniki metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias oraz metodą grupowania wyrazów, w przypadkach nie trudniejszych niż rozkład wielomianu

5) mnoży i dzieli wyrażenia wymierne; 

6) dodaje i odejmuje wyrażenia wymierne, w przypadkach nie trudniejszych niż:

Zdający spełnia wymagania określone dla poziomu podstawowego, a ponadto: 

1) znajduje pierwiastki całkowite i wymierne wielomianu o współczynnikach całkowitych; 

2) dzieli wielomian jednej zmiennej 𝑊(𝑥) przez dwumian postaci 𝑥 − 𝑎; 

3) korzysta ze wzorów na: 

Zdający: 

1) przekształca równania i nierówności w sposób równoważny; 

2) interpretuje równania i nierówności sprzeczne oraz tożsamościowe; 

3) rozwiązuje nierówności liniowe z jedną niewiadomą; 

4) rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe; 

5) rozwiązuje równania wielomianowe postaci W (x) = 0 dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej lub takich, które dają się doprowadzić do postaci iloczynowej metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias lub metodą grupowania; 

Zdający spełnia wymagania określone dla poziomu podstawowego, a ponadto: 

1) rozwiązuje nierówności wielomianowe typu: W(x) > 0, W(x) ≥ 0 , W(x) > 0 , W(x) ≤ 0 dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej lub takich, które dają się doprowadzić do postaci iloczynowej metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias lub metodą grupowania; 

2) rozwiązuje równania i nierówności wymierne nie trudniejsze niż: 

Zdający: 

1) rozwiązuje układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi, podaje interpretację geometryczną układów oznaczonych, nieoznaczonych i sprzecznych; 

2) stosuje układy równań do rozwiązywania zadań tekstowych. 

Zdający spełnia wymagania określone dla poziomu podstawowego, a ponadto: 

1) rozwiązuje metodą podstawiania układy równań, z których jedno jest liniowe, a drugie kwadratowe, w postaci

Zdający: 

1) określa funkcje jako jednoznaczne przyporządkowanie za pomocą opisu słownego, tabeli, wykresu, wzoru (także różnymi wzorami na różnych przedziałach); 

2) oblicza wartość funkcji zadanej wzorem algebraicznym; 

3) odczytuje i interpretuje wartości funkcji określonych za pomocą tabel, wykresów, wzorów itp., również w sytuacjach wielokrotnego użycia tego samego źródła informacji lub kilku źródeł jednocześnie; 

4) odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości większe (nie mniejsze) lub mniejsze (nie większe) od danej liczby, największe i najmniejsze wartości funkcji (o ile istnieją) w danym przedziale domkniętym oraz argumenty, dla których wartości największe i najmniejsze są przez funkcję przyjmowane; 

5) interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej; 

6) wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o jej wykresie lub o jej własnościach; 

7) szkicuje wykres funkcji kwadratowej zadanej wzorem; 

8) interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej (jeśli istnieje); 

9) wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o tej funkcji lub o jej wykresie; 

10) wyznacza największą i najmniejszą wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym; 

11) wykorzystuje własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp., także osadzonych w kontekście praktycznym; 

12) na podstawie wykresu funkcji y = ƒ(x) szkicuje wykresy funkcji y = ƒ(x – a) , y = ƒ(x) + b, y = –ƒ(x), y = ƒ(–x);

13) posługuje się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną, w tym ich wykresami, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi. 

Zdający spełnia wymagania określone dla poziomu podstawowego, a ponadto na podstawie wykresu funkcji y = ƒ(x) rysuje wykres funkcji y = |ƒ(x)|.

Zdający: 

1) oblicza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym; 

2) w prostych przypadkach bada, czy ciąg jest rosnący, czy malejący; 

3) sprawdza, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny; 

4) stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego; 

5) stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego; 

6) wykorzystuje własności ciągów, w tym arytmetycznych i geometrycznych, do rozwiązywania zadań, również osadzonych w kontekście praktycznym. 

Zdający spełnia wymagania określone dla poziomu podstawowego, a ponadto: 

1) oblicza granice ciągów, korzystając z granic ciągów typu

Zdający: 

1) wykorzystuje definicje funkcji: sinus, cosinus i tangens dla kątów od 0° do 180°, w szczególności wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30°, 45°, 60°; 

2) korzysta ze wzorów

4) oblicza kąty trójkąta i długości jego boków przy odpowiednich danych (rozwiązuje trójkąty m.in. z wykorzystaniem twierdzenia cosinusów). 

Zdający spełnia wymagania określone dla poziomu podstawowego, a ponadto: 

1) stosuje miarę łukową, zamienia miarę łukową kąta na stopniową i odwrotnie; 

2) posługuje się wykresami funkcji trygonometrycznych: sinus, cosinus, tangens; 

3) wykorzystuje okresowość funkcji trygonometrycznych; 

4) stosuje wzory redukcyjne dla funkcji trygonometrycznych; 

5) korzysta ze wzorów na sinus, cosinus i tangens sumy i różnicy kątów, a także na funkcje trygonometryczne kątów podwojonych; 

6) rozwiązuje równania trygonometryczne o stopniu trudności nie większym niż w przykładzie 

4 cos2x cos5x = 2 cos7x + 1; 

7) stosuje twierdzenie sinusów; 

8) oblicza kąty trójkąta i długości jego boków przy odpowiednich danych (m.in. z wykorzystaniem twierdzenia sinusów). 

Zdający: 

1) wyznacza promienie i średnice okręgów, długości cięciw okręgów oraz odcinków stycznych, w tym z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa; 

2) rozpoznaje trójkąty ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne przy danych długościach boków (m.in. stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i twierdzenie cosinusów); stosuje twierdzenie: w trójkącie naprzeciw większego kąta wewnętrznego leży dłuższy bok; 

3) rozpoznaje wielokąty foremne i korzysta z ich podstawowych własności; 

4) korzysta z własności kątów i przekątnych w prostokątach, równoległobokach, rombach i trapezach; 

5) stosuje własności kątów wpisanych i środkowych; 

6) stosuje wzory na pole wycinka koła i długość łuku okręgu; 

7) stosuje twierdzenia: Talesa, o dwusiecznej kąta oraz o kącie między styczną a cięciwą; 

8) korzysta z cech podobieństwa trójkątów; 

9) wykorzystuje zależności między obwodami oraz między polami figur podobnych; 

10) wskazuje podstawowe punkty szczególne w trójkącie: środek okręgu wpisanego w trójkąt, środek okręgu opisanego na trójkącie, środek ciężkości oraz korzysta z ich własności; 

11) stosuje funkcje trygonometryczne do wyznaczania długości odcinków w figurach płaskich oraz obliczania pól figur. 

Zdający spełnia wymagania określone dla poziomu podstawowego, a ponadto: 

1) stosuje własności czworokątów wpisanych w okrąg i opisanych na okręgu; 

2) stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa; 

3) przeprowadza dowody geometryczne. 

Zdający: 

1) rozpoznaje wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie na podstawie ich równań, w tym znajduje wspólny punkt dwóch prostych, jeśli taki istnieje; 

2) posługuje się równaniem prostej na płaszczyźnie w postaci kierunkowej, w tym wyznacza równanie prostej o zadanych własnościach (takich jak na przykład przechodzenie przez dwa dane punkty, znany współczynnik kierunkowy, równoległość lub prostopadłość do innej prostej, styczność do okręgu); 

3) oblicza odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych; 

4) posługuje się równaniem okręgu 

(x – a)² + (y – b)² = r² ; 

5) oblicza odległość punktu od prostej; 

6) wyznacza obrazy okręgów i wielokątów w symetriach osiowych względem osi układu współrzędnych, symetrii środkowej (o środku w początku układu współrzędnych). 

Zdający spełnia wymagania określone dla poziomu podstawowego, a ponadto: 

1) posługuje się równaniem prostej w postaci ogólnej na płaszczyźnie, w tym wyznacza równanie prostej o zadanych własnościach (takich jak na przykład przechodzenie przez dwa dane punkty, równoległość lub prostopadłość do innej prostej, styczność do okręgu); 

2) zna pojęcie wektora i oblicza jego współrzędne oraz długość; 

3) znajduje punkty wspólne prostej i okręgu oraz prostej i paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej. 

Zdający: 

1) rozpoznaje wzajemne położenie prostych w przestrzeni, w szczególności proste prostopadłe nieprzecinające się; 

2) posługuje się pojęciem kąta między prostą a płaszczyzną; 

3) rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi), oblicza miary tych kątów; 

4) oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów i ostrosłupów, również z wykorzystaniem trygonometrii i poznanych twierdzeń; 

5) wykorzystuje zależność między objętościami graniastosłupów oraz ostrosłupów podobnych. 

Zdający spełnia wymagania określone dla poziomu podstawowego, a ponadto: 

1) zna i stosuje twierdzenie o prostej prostopadłej do płaszczyzny i o trzech prostopadłych; 

2) posługuje się pojęciem kąta dwuściennego między półpłaszczyznami; 

3) rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między ścianami, oblicza miary tych kątów; 

4) określa, jaką figurą jest dany przekrój prostopadłościanu płaszczyzną; 

5) wyznacza przekroje sześcianu i ostrosłupów prawidłowych oraz oblicza ich pola, także z wykorzystaniem trygonometrii. 

Poziom podstawowy. Zdający: 

1) zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych; 

2) zlicza obiekty, stosując reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) dla dowolnej liczby czynności w sytuacjach nie trudniejszych niż: a) obliczenie, ile jest czterocyfrowych nieparzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 1 i dokładnie jedna cyfra 2, b) obliczenie, ile jest czterocyfrowych parzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 0 i dokładnie jedna cyfra 1. 

Zdający spełnia wymagania określone dla poziomu podstawowego, a ponadto: 

1) oblicza liczbę możliwych sytuacji, spełniających określone kryteria, z wykorzystaniem reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) oraz wzorów na liczbę: permutacji, kombinacji i wariacji, również w przypadkach wymagających rozważenia złożonego modelu zliczania elementów; 

2) stosuje współczynnik dwumianowy (symbol Newtona) przy rozwiązywaniu problemów kombinatorycznych. 

Zdający: 

1) oblicza prawdopodobieństwo w modelu klasycznym; 

2) oblicza średnią arytmetyczną i średnią ważoną, znajduje medianę i dominantę; 

3) oblicza odchylenie standardowe zestawu danych (także w przypadku danych odpowiednio pogrupowanych), interpretuje ten parametr dla danych empirycznych. 

Zdający spełnia wymagania określone dla poziomu podstawowego, a ponadto: 

1) oblicza prawdopodobieństwo warunkowe, stosuje twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym; 

2) stosuje schemat Bernoulliego. 

Zdający rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową. 

Zdający spełnia wymagania określone dla poziomu podstawowego, a ponadto: 

1) oblicza granice funkcji (w tym jednostronne); 

2) stosuje definicję pochodnej funkcji, podaje interpretację geometryczną pochodnej; 

3) oblicza pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym oraz oblicza pochodną, korzystając z twierdzeń o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu; 

4) stosuje pochodną do badania monotoniczności funkcji; 

5) rozwiązuje zadania optymalizacyjne z zastosowaniem pochodnej.