Matematyka, formuła 2015 - wymagania egzaminacyjne wg podstawy programowej

P. PODSTAWOWY

P. ROZSZERZONY

⇑1. Liczby rzeczywiste.

Zdający:

1) przedstawia liczby rzeczywiste w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego, ułamka dziesiętnego okresowego, z użyciem symboli pierwiastków, potęg);

2) oblicza wartości wyrażeń arytmetycznych (wymiernych);

3) posługuje się w obliczeniach pierwiastkami dowolnego stopnia i stosuje prawa działań na pierwiastkach;

4) oblicza potęgi o wykładnikach wymiernych i stosuje prawa działań na potęgach o wykładnikach wymiernych;

5) wykorzystuje podstawowe własności potęg (również w zagadnieniach związanych z in ny mi dziedzinami wiedzy, np. fizyką, chemią, informatyką);

6) wykorzystuje definicję logarytmu i stosuje w obliczeniach wzory na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi o wykładniku naturalnym;

7) oblicza błąd bezwzględny i błąd względny przybliżenia;

8) posługuje się pojęciem przedziału liczbowego, zaznacza przedziały na osi liczbowej;

9 ) wykonuje obliczenia procentowe, oblicza podatki, zysk z lokat (również złożonych na procent składany i na okres krótszy niż rok).

spełnia wymagania określone dla poziomu podstawowego, a ponadto:

1) wykorzystuje pojęcie wartości bezwzględnej i jej interpretację geometryczną, zaznacza na osi liczbowej zbiory opisane za pomocą równań i nierówności typu:

|x – a| = b, |x – a| < b, |x – a| ≥ b;

2) stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu.

⇑2. Wyrażenia algebraiczne.

Zdający:

1) używa wzorów skróconego mnożenia na (a ± b)² oraz a² – b².

spełnia wymagania określone dla poziomu podstawowego, a ponadto:

1) używa wzorów skróconego mnożenia na (a ± b)³ oraz a³ ± b³;

2) dzieli wielomiany przez dwumian ax + b;

3) rozkłada wielomian na czynniki, stosując wzory skróconego mnożenia lub wyłączając wspólny czynnik przed nawias;

4) dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany;

5) wyznacza dziedzinę prostego wyrażenia wymiernego z jedną zmienną, w którym w mianowniku występują tylko wyrażenia dające się łatwo sprowadzić do iloczynu wielomianów liniowych i kwadratowych;

6) dodaje, odejmuje, mnoży i dzieli wyrażenia wymierne; rozszerza i (w łatwych przykładach) skraca wyrażenia wymierne.

⇑3. Równania i nierówności.

Zdający:

1) sprawdza, czy dana liczba rzeczywista jest rozwiązaniem równania lub nierówności;

2) wykorzystuje interpretację geometryczną układu równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi;

3) rozwiązuje nierówności pierwszego stopnia z jedną niewiadomą;

4) rozwiązuje równania kwadratowe z jedną niewiadomą;

5) rozwiązuje nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą;

6) korzysta z definicji pierwiastka do rozwiązywania równań typu x³ = –8;

7) korzysta z własności iloczynu przy rozwiązywaniu równań typu

x(x + 1)(x – 7) = 0;

8) rozwiązuje proste równania wymierne, prowadzące do równań liniowych lub kwadratowych, np.

spełnia wymagania określone dla poziomu podstawowego, a ponadto:

1) stosuje wzory Viete’a;

2) rozwiązuje równania i nierówności liniowe i kwadratowe z parametrem;

3) rozwiązuje układy równań, prowadzące do równań kwadratowych;

4) stosuje twierdzenie o reszcie z dzielenia wielomianu przez dwumian x – a;

5) stosuje twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych;

6) rozwiązuje równania wielomianowe da ją ce się łatwo sprowadzić do równań kwa dra to wych;

7) rozwiązuje łatwe nierówności wielomianowe;

8) rozwiązuje proste nierówności wymierne typu:

9) rozwiązuje równania i nierówności z wartością bezwzględną, o poziomie trudności nie wyższym, niż:

||x + 1|–2| = 3, |x + 3| + |x–5| > 12.

⇑4. Funkcje.

Zdający:

1) określa funkcje za pomocą wzoru, tabeli, wykresu, opisu słownego;

2) oblicza ze wzoru wartość funkcji dla danego argumentu. Posługuje się poznanymi metodami rozwiązywania równań do obliczenia, dla jakiego argumentu funkcja przyjmuje daną wartość;

3) odczytuje z wykresu własności funkcji (dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, maksymalne przedziały, w których funkcja maleje, rośnie, ma stały znak; punkty, w których funkcja przyjmuje w podanym przedziale wartość największą lub najmniejszą);

4) na podstawie wykresu funkcji y = ƒ(x) szkicuje wykresy funkcji y = ƒ(x + a), y = ƒ(x) + a, y = –ƒ(x), y = ƒ(–x)

5) rysuje wykres funkcji liniowej, korzystając z jej wzoru;

6) wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o funkcji lub o jej wykresie;

7) interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej;

8) szkicuje wykres funkcji kwadratowej, korzystając z jej wzoru;

9) wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie pewnych informacji o tej funkcji lub o jej wykresie;

10) interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej, w postaci ogólnej i w postaci iloczynowej (o ile istnieje);

11) wykorzystuje własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp. (także osadzonych w kontekście praktycznym).

12) wykorzystuje własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp. (także osadzonych w kontekście praktycznym);

13) szkicuje wykres funkcji f(x) = a/x dla danego a, korzysta ze wzoru i wykresu tej funkcji do interpretacji zagadnień związanych z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi;

14) szkicuje wykresy funkcji wykładniczych dla różnych podstaw;

15) posługuje się funkcjami wykładniczymi do opisu zjawisk fizycznych, chemicznych, a także w zagadnieniach osadzonych w kontekście praktycznym. 

spełnia wymagania określone dla poziomu podstawowego, a ponadto:

1) na podstawie wykresu funkcji y = ƒ(x) szkicuje wykresy funkcji y = |ƒ(x)|, y = c · ƒ(x)_, y = ƒ(cx);

2) szkicuje wykresy funkcji logarytmicznych dla różnych podstaw;

3) posługuje się funkcjami logarytmicznymi do opisu zjawisk fizycznych, chemicznych, a także w zagadnieniach osadzonych w kontekście praktycznym;

4) szkicuje wykres funkcji określonej w różnych przedziałach różnymi wzorami; odczytuje własności takiej funkcji z wykresu.

⇑5. Ciągi.

Zdający:

1) wyznacza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym;

2) bada, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny;

3) stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego;

4) stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.

spełnia wymagania określone dla poziomu podstawowego, a ponadto:

1) wyznacza wyrazy ciągu określonego wzorem rekurencyjnym;

2) oblicza granice ciągów, korzystając z granic ciągów typu 1/n, 1/n² oraz z twierdzeń o działaniach na granicach ciągów;

3) rozpoznaje szeregi geometryczne zbieżne i oblicza ich sumy.

⇑6. Trygonometria.

Zdający:

1) wykorzystuje definicje i wyznacza wartości funkcji sinus, cosinus i tangens kątów o miarach od 0° do 180°;

2) korzysta z przybliżonych wartości funkcji trygonometrycznych (odczytanych z tablic lub obliczonych za pomocą kalkulatora);

3) oblicza miarę kąta ostrego, dla której funkcja trygonometryczna przyjmuje daną wartość (miarę dokładną albo – korzystając z tablic lub kalkulatora – przybliżoną);

4) stosuje proste zależności między funkcjami trygonometrycznymi:

sin²α + cos²α = 1,  oraz sin(90°–α) = cosα

4) znając wartość jednej z funkcji: sinus lub cosinus, wyznacza wartości pozostałych funkcji tego samego kąta ostrego.

spełnia wymagania określone dla poziomu podstawowego, a ponadto:

1) stosuje miarę łukową, zamienia miarę łukową kąta na stopniową i odwrotnie;

2) wykorzystuje definicje i wyznacza wartości funkcji sinus, cosinus i tangens dowolnego kąta o mierze wyrażonej w stopniach lub radianach (przez sprowadzenie do przypadku kąta ostrego);

3) wykorzystuje okresowość funkcji trygonometrycznych;

4) posługuje się wykresami funkcji trygonometrycznych (np. gdy rozwiązuje nie równości typu sinx > a, cos x ≤ a, tg x > a);

5) stosuje wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów, sumę i różnicę sinusów i cosinusów kątów;

6) rozwiązuje równania trygonometryczne typu

sin2x = ½,
sin2x + cosx = 1,
sinx + cosx = 1
cos2x < ½

⇑7. Planimetria.

Zdający:

1) stosuje zależności między kątem środkowym i kątem wpisanym;

2) korzysta z własności stycznej do okręgu i własności okręgów stycznych;

3) rozpoznaje trójkąty podobne i wykorzystuje (także w kontekstach praktycznych) cechy podobieństwa trójkątów;

4) korzysta z własności funkcji trygonometrycznych w łatwych obliczeniach geometrycznych, w tym ze wzoru na pole trójkąta ostrokątnego o danych dwóch bokach i kącie między nimi.

spełnia wymagania określone dla poziomu podstawowego, a ponadto:

1) stosuje twierdzenia charakteryzujące czworokąty wpisane w okrąg i czworokąty opisane na okręgu;

2) stosuje twierdzenie Talesa i twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa do obliczania długości odcinków i ustalania równoległości prostych;

3) znajduje obrazy niektórych figur geometrycznych w jednokładności (odcinka, trójkąta, czworokąta itp.);

4) rozpoznaje figury podobne; wykorzystuje (także w kontekstach praktycznych) ich własności;

5) znajduje związki miarowe w figurach płaskich z zastosowaniem twierdzenia sinusów i twierdzenia cosinusów.

⇑8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.

Zdający:

1) wyznacza równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty (w postaci kierunkowej lub ogólnej);

2) bada równoległość i prostopadłość prostych na podstawie ich równań kierunkowych;

3) wyznacza równanie prostej, która jest równoległa lub prostopadła do prostej danej w postaci kierunkowej i przechodzi przez dany punkt;

4) oblicza współrzędne punktu przecięcia dwóch prostych;

5) wyznacza współrzędne środka odcinka;

6) oblicza odległość dwóch punktów;

7) znajduje obrazy niektórych figur geometrycznych (punktu, prostej, odcinka, okręgu, trójkąta itp.) w symetrii osiowej względem osi układu współrzędnych i symetrii środkowej względem początku układu.

spełnia wymagania określone dla poziomu podstawowego, a ponadto:

 1) interpretuje graficznie nierówność liniową z dwiema niewiadomymi oraz układy takich nierówności;

2) bada równoległość i prostopadłość prostych na podstawie ich równań ogólnych;

3) wyznacza równanie prostej, która jest równoległa lub prostopadła do prostej danej w postaci ogólnej i przechodzi przez dany punkt;

4 ) oblicza odległość punktu od prostej;

2) posługuje się równaniem okręgu

(x – a)² + (y – b)² = r² oraz opisuje koła za pomocą nierówności;

3) wyznacza punkty wspólne prostej i okręgu;

4) oblicza współrzędne oraz długość wektora; dodaje i odejmuje wektory oraz mnoży je przez liczbę. Interpretuje geometrycznie działania na wektorach;

5) stosuje wektory do opisu przesunięcia wykresu funkcji.

⇑9. Stereometria.

Zdający:

1) rozpoznaje w graniastosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi, itp.), oblicza miary tych kątów;

2) rozpoznaje w graniastosłupach kąt między odcinkami i płaszczyznami (między krawędziami i ścianami, przekątnymi i ścianami), oblicza miary tych kątów;

 3) rozpoznaje w walcach i w stożkach kąt między odcinkami oraz kąt między odcinkami i płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka, kąt między tworzącą a podstawą), oblicza miary tych kątów;

4) rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między ścianami;

5) określa, jaką figurą jest dany przekrój prostopadłościanu płaszczyzną;

6) stosuje trygonometrię do obliczeń długości odcinków, miar kątów, pól powierzchni i objętości.

spełnia wymagania określone dla poziomu podstawowego, a ponadto:

1) określa, jaką figurą jest dany przekrój sfery płaszczyzną;

2) określa, jaką figurą jest dany przekrój graniastosłupa lub ostrosłupa płaszczyzną.

⇑10. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka.

Zdający:

1) oblicza średnią ważoną i odchylenie standardowe zestawu danych (także w przypadku danych odpowiednio pogrupowanych), interpretuje te parametry dla danych empirycznych;

 2) zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych, nie- wymagających użycia wzorów kombinatorycznych, stosuje regułę mnożenia i regułę dodawania;

3) oblicza prawdopodobieństwa w prostych sytuacjach, stosując klasyczną definicję prawdopodobieństwa.

spełnia wymagania określone dla poziomu podstawowego, a ponadto:

1) wykorzystuje wzory na liczbę permutacji, kombinacji, wariacji i wariacji z powtórzeniami do zliczania obiektów w sytuacjach kombinatorycznych;

2) oblicza prawdopodobieństwo warunkowe;

3) korzysta z twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym.

⇑11. Rachunek różniczkowy.

Zdający:

1) oblicza granice funkcji (i granice jednostronne), korzystając z twierdzeń o działaniach na granicach i z własności funkcji ciągłych;

2) oblicza pochodne funkcji wymiernych;

3) korzysta z geometrycznej interpretacji pochodnej;

4) korzysta z własności pochodnej do wyznaczenia przedziałów monotoniczności funkcji;

5) znajduje ekstrema funkcji wielomianowych i wymiernych;

6) stosuje pochodne do rozwiązywania zagadnień optymalizacyjnych.